前言

  上一篇中围绕一个简单的匀速直线运动的状态估计仿真实例展开,阐述了卡尔曼滤波器的实现方式、过程以及仿真效果。本篇将对卡尔曼滤波的几个主要参数的选取作一定的说明,同时,围绕扩展卡尔曼滤波算法展开,阐述其与卡尔曼滤波器的区别与作用。  

卡尔曼滤波的参数选取问题

  这里还是以上篇中提到的匀速运动仿真实例为案例。  
  • [公式]
[公式] 阵为过程噪声矩阵,描述了我们所建立的状态方程的不确定度。例如,仅管我们认为对象处于匀速直线运动状态,然而,现实情况可能如下:  
  1. 对象在运动过程中遇到上坡,在上坡过程中减速导致状态方程描述的状态量与实际值偏差增大。
  2. 对象在运动过程中遇到障碍物,对象减速,导致状态方程描述的状态量与实际值偏差增大。
  除了以上描述的两种情况外,还可能存在许多未知的情况,均可能导致状态方程描述不准确的情况。因此, [公式] 阵的选定往往代表了我们对于对象在实际运行情况下,状态方程与实际情况的吻合度。若我们认为,状态方程非常可靠,则 [公式] 阵取较小值,此时,卡尔曼滤波的估计结果更偏向于预测值,反之,则更接近于量测值。  
  • [公式]
[公式] 阵描述了量测噪声,该矩阵的取值往往由经验决定,可通过传感器厂商给出的Datasheet中找到对应的值,或作为卡尔曼滤波器的可调参数,综合整个滤波器的估计效果来整定。  
  • [公式]
[公式] 为协方差矩阵的初值,可理解为初始的状态量的不确定度。一般而言,对于精度较低的系统,该值可取一个较大值。  
  • [公式]
[公式] 为初始状态量,可由一段时间传感器的直接或间接测量值,经过一定的滤波处理或转换计算得到。  

卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波的区别

  一定有人会问:既然已经有了卡尔曼滤波算法,那么扩展卡尔曼滤波算法又有何用处?那么,扩展卡尔曼滤波算法究竟解决的是什么样的实际问题?   卡尔曼滤波在实际工程中常被用于状态转移矩阵与量测矩阵为线性的情况,原因在于卡尔曼滤波原理是在变量服从高斯分布的前提下推导出来的。当我们将一个高斯分布输入到一个非线性函数中,得到的结果将不符合高斯分布。此时,若强行对非线性对象使用卡尔曼滤波进行状态估计,得到的结果将不再是无偏估计。   微信图片_20201210221837   扩展卡尔曼滤波算法(EKF)应运而生。   由于被估计对象不再线性,其状态转移矩阵[公式]量测矩阵[公式]无法再用一个常系数矩阵表示。扩展卡尔曼滤波在每一个更新周期内,针对每一个状态点 [公式] ,对状态转移矩阵 [公式]量测矩阵 [公式]进行泰勒展开:   微信图片_20201210221855   这里,我们忽略二次以上高阶项,即可得到近似的线性化方程,用于代替非线性函数 [公式] ,即:   微信图片_20201210221908   将非线性函数 [公式] 拓展到多维,即求各个变量的偏导数,即   微信图片_20201210221924   其中,对各变量求偏导数所对应的这一项被称为雅可比(Jacobian)项,   微信图片_20201210221938   所有雅可比项组成了多维雅可比矩阵,而该雅可比矩阵即我们所需要的线性化后的量测矩阵:   微信图片_20201210221952   线性化后的状态转移矩阵[公式]同理可得,在此不作赘述。   在得到线性化后的状态转移矩阵[公式]量测矩阵 [公式] 后,我们再次祭出卡尔曼老先生的五大经典卡尔曼滤波方程:  
  • 状态更新方程
  1607610029(1)  
  • 量测更新方程
  1607610052(1)   具体的公式说明可参考上一篇文章: 遥远的乌托邦:导航系统设计专题(三)—卡尔曼滤波算法入门​zhuanlan.zhihu.com   图标  
至此,扩展卡尔曼滤波与卡尔曼滤波的算法流程并无区别。总结而言,其两者的主要区别在于:  
  • 扩展卡尔曼滤波需要在每个更新周期,针对非线性状态转移矩阵[公式]与非线性量测矩阵[公式]进行线性化。
  • 对于嵌入式系统而言,扩展卡尔曼滤波算法的运算量要远大于卡尔曼滤波算法,因此,在建模时,对于量测方程与状态转移方程的选取需要有一定的简化,降低运算量。
 

总结

 
本篇主要内容如下:  
  • 针对卡尔曼滤波的参数选取问题进行阐述
  • 解释了卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波算法的区别
  • 阐述了扩展卡尔曼滤波算法的实现过程
  下篇预告:
 
  • 以一个简单的仿真案例阐述扩展卡尔曼滤波的实现过程
  • 扩展卡尔曼滤波的c++代码实现
 
  作者简介: 一个被Coding耽误的无人机算法工程师,控制、导航略懂一二,热衷技术,喜欢乒乓、音乐、电影,欢迎交流。   知乎:@遥远的乌托邦   GitHub: github.com/DistantUtopi