一、前言

无刷电机是很多控制系统常见的执行机构,理解执行机构的运行原理和物理模型十分重要,本节将根据机械守恒和电压守恒定律推导动力单元从输入电压到输出角速度的传递函数,并通过实验辨识该传递函数的时间常数。

二、电机的数学模型推导

直流无刷电机通过改变内部磁场分布,驱动电机转子转动,其内部结构较为复杂,不是本文的研究内容。从电路模型角度分析,可以等效成一个永磁直流直流电机模型。下图中,v为等效输入电压,i为电机等效电流,L为电枢电感,R为电机等效内阻,e为电磁电压,V_RV_L分别通过是电阻和电感上的电压。

基于基尔霍夫定律可得:

v=V_R+V_L+e=Ri+L\frac{\partial i}{\partial t}+e

另外,由于常见电机内部电感系数较小,忽略电机电感项,简化如下式:

v=Ri+e

同时,建立电机的动力学模型:

J_{TM}{\dot{\omega}}_M=T_M-T_L

式中,J_{TM}为动力单元整体的转动惯量,T_M为电机产生的总扭矩,T_L为总的载荷扭矩,{\dot{\omega}}_M为电机的角加速度。
电机扭矩T_M和电机当前电流i存在比例关系,建立电机动力学与电力学之间的联系。同时,电磁压力e与电机角速度\omega_M也存在比例关系:

e=K_E\omega_M
T_M=K_Mi

式中,K_M为电机机械常数,K_E为电机电力常数。
总载荷扭矩T_L与螺旋桨的转动惯量和螺旋桨的角加速度关系为:

T_L=J_L{\dot{\omega}}_M+b_L\omega_M

式中,b_L为螺旋桨的摩擦系数。
将输入电压v作为模型输入,将电机角速度\omega_M作为模型输出,建立电机模型的传递函数,如下式:

\frac{\omega_M(s)}{v(s)}=\frac{\frac{K_M}{R}}{(J_{TM}+J_L)s+(\frac{K_EK_M}{R}+b_L)}=\frac{K_{ML}}{T_Ms+1}

进一步,将电机模型表示为一阶惯性环节形式:

\frac{\omega_M(s)}{v(s)}=\frac{K_{ML}}{T_Ms+1}

其中,K_{ML}为该环节的放大系数,T_M为电机的时间常数。电机放大系数主要与动力单元的转动惯量以及电机内阻有关,数据难以获取且单独计算意义不大,之后的分析中会用一个总的参数替代。下一步是通过电机响应实验获取动力单元的时间常数。

三、试验验证

本文建模对象是上海拓攻机器人公司的某型号植保无人机,下图图是该多旋翼的动力套装实物图。

由于电机内部没有内置转速传感器,无法有效获取电机角速度,第二节推导可以发现电机角速度\omega_M与电磁电压e成正比,所以电机转速可以通过反电动势观测,实验中使用示波器测量并记录电磁电压e数据。采用如下图所示的实验装置固定电机,测试时需要保持一米以上的安全距离。

多旋翼电机启动需要一定时间,为了避免启动时间对电机时间常数测量的影响,电机的初始状态设定为怠速状态。当测量电压处于稳定的怠速状态电压时,给予电机一个阶跃信号,为了观测电机的全状态响应,这里给定的电机转速是电机最大转速的90%。观测并记录电机电磁电压响应曲线,如下图所示:

实验时长10s,采集频率为100Hz。图2.5中滤波前数据是示波器采集的原始电压数据。紫色虚线是阶跃激励信号,可以发现在2.5s时给予电机信号激励,电机在4.8s左右达到期望转速,进入稳态。由于示波器采集过程会产生较多毛刺,并且电压信号本身噪声较大,需要进行滤波处理。采用截止频率为10Hz的一阶低通滤波器。另外,图中黄色虚线是稳态值数值的63.2%位置,根据自动控制原理的知识,时间常数T_M即为电磁电压达到稳态值的63.2%时的响应时间,大致为130ms。下一步是使用MATLAB的辨识工具箱辨识该一阶系统的阶跃响应模型,辨识过程可以参考官网说明,辨识结果如图所示。

图中黑色曲线是滤波后的电机响应曲线,绿色曲线是辨识结果,右框中的数据为模型辨识结果的准确度,准确度高达92.89%,说明辨识结果可信度较高。辨识得到的一阶模型如下式:

\frac{\omega_M(s)}{v(s)}=\frac{K_{ML}}{T_Ms+1}=\frac{K_{ML}}{0.127s+1}

式中,辨识得到的时间常数 为127ms与之前估算的一致。T_M电机的时间常数与电机、电调选型有关,电调刷新频率越快,T_M越小;电机KV值越大,T_M越小,反之越大。T_M越小,系统延时越小。