刚体加速度

求角加速度:

角速度有:

 [公式]

对其左右两侧微分,得 

[公式]                

求线加速度:

[公式]

[公式]

整理有:

[公式]

故可以推出:

[公式]

(注3:依次是B的加速度,切向加速度,法向加速度,科氏加速度与相对加速度)

故对于

 [公式]

质量分布

惯性张量(参考坐标系的位置与姿态的函数)

平行轴定理


牛顿—欧拉方程

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性的量度。 在经典力学中,转动惯量又称质量惯性矩。对于一个质点,J = mr²,其中 m 是其质量,r 是质点和转轴的垂直距离。

动量矩:质点Q的动量对于点O的矩,定义为质点对于点O的动量矩。 [公式]

对于一个质点系对于O点的动量矩有 [公式] 

刚体绕定轴转动时,有 [公式]

即:绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。

对O点的动量矩对时间取一阶导数,有:

[公式]

                                                                                                          

[公式] 

动量矩定理质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩。

牛顿方程:

[公式]

欧拉方程

[公式]

I即使使用惯性坐标系,也会在移动过程中发生改变。所以将其对质心COM固定,使其相对质心为定值:

[公式]

由此知,要求连杆上力与力矩,要先知道该连杆上的线加速度与角加速度。

该部分的详细推导来源于:机器人连杆坐标系原点的角加速度和线加速度的推导 - 简书 (jianshu.com)(直接贴过来了)

线速度指的是连杆坐标系原点的速度,加速度指的是连杆坐标系的角速度。

对于转动关节来讲,其线加速度求得是坐标系原点的线加速度,下一个转动关节的转动带来的科氏加速度与相对加速的这里是没有的。

当关节为移动关节时:

[公式] 

线加速度:由于该关节是沿着x轴移动的,所以其会带来科氏加速度与相对加速度,故有
[公式]

两边同乘以

 [公式] ,让加速度相对于连杆自身的{i+1}坐标系,有:

[公式]

所以此时推知连杆的质心线加速度有:

[公式]

所以对于作用在连杆上的力和力矩有:

[公式]