台大机器人学——林沛群

1.Operators ——对向量(或点)进行移动或者转动

(1)仅有移动:从P1→P2:

(2)仅有移动:P1→P2

Trasformation Matrix也同样适用于纯转动的case

(3)移动转动复合:P1→P12→P2 注意,先转动后移动≠先移动后转动 先移后转 移动后的向量也要乘上旋转矩阵。

EX : Point

 [公式] 先对Z轴转30°,然后移动

 [公式] 

 [公式] ,求

[公式]

注意:Mapping,是把一个vector(point)从一个frame的表达,转动另外一个frame表达;Operator是对一个vector(point)进行一系列旋转平移操作。

因为运动是相对的,Transformation Matrix对向量进行移动或转动操作,也可以想象成是对frame进行【反向】的移动或转动的操作

2. Transformation Matrix的三种用法小结:

  1. 描述一个frame相对一另一个frame的空间状态:

2. 将point有某一个frame的表达转到另一个frame表达——MAPPING!

3. 将point(vector) 在同一个frame中进行移动和转动——OPERATORS!

3. Transformation 运算法则

3.1 连续运算

列成Transformation Matrix的形式:

同理:若还有{D} frame:

越是后面的向量,越要乘上越多的旋转矩阵,最终回到Aframe上

3.2 Transformation Matrix的逆矩阵

复习: 在学习Rotation Matrix的时候,我们发现,R的反矩阵就是其转置。那Transformation Matrix 的逆矩阵应该怎么求呢?

3.3 连续运算2 ——求未知的相对关系

任意一个frame未知,都可以利用其它已知的frame的相对关系求出这个未知。

连续运算,就是对矩阵“搬来搬去”的运算,所以前面需要求逆矩阵,有了逆矩阵,所有的运算都很方便了。

3.4 连续运算法则

  • initial condition: {A} and {B} coincide: (初始A,B两个frame 重合)
  • {B}  {A} 的转轴旋转:用"Premultiply"(自左乘)
    • 以operator来想,对某一个向量【以同一坐标为基准】,进行转动或移动的操作
  • {B}  {B} 的自身转轴旋转:用"Postmultiply"(自右乘)
    • 以mapping来想,对某一个向量,从最后一个frame【逐渐转动或移动】来回到第一个frame
  • 固定的{A}移动的{B}为基准进行移动转动操作,transformation matrix应用不同的连乘方式。