本节介绍刚体动力学的基本内容——刚体动能求解。前面介绍了质点动力学的基本的分析力学方法,但大部分物理问题都不能简单地看作质点系模型,因此有必要研究刚体动力学,而研究刚体动力学时,最大的问题就是欠缺解算刚体动能的方法,这将在本节进行简单介绍。
1. 刚体的动能
对于质点系,有拉格朗日方程成立,那么对于刚体,其依然是成立的。那么刚体的动能如何表示?
如图3-1所示,在刚体上某点 建立旋转系 ,取位于刚体上某点 的一个微元 ,微元的位矢为 ,微元相对 点的速度为
微元的动能:
刚体的动能:
不受微元 选取的影响,因此
利用性质 ,得
由已有的牛顿力学知识, 项即为 (本文主要介绍分析力学,默认读者已经掌握基本的牛顿力学知识,因此不再详细介绍此处的推导),其中 为刚体关于点 的惯性张量,因此
因此有
上式就是刚体动能的表达式。
若取点 与刚体质心 重合,有 ,因此
上式第一项称为刚体的平动动能,第二项称为刚体的转动动能。
若取点 为刚体上相对惯性系固定的点 (若存在的话),有 ,则
例3-1. 动力学系统如图3-1所示,L型杆在以角速度 旋转,其上固定着一直杆,求出杆的动能。如图所示,相关坐标系已建立完毕,分别为惯性系 、随L杆旋转的旋转系 、随直杆旋转的旋转系 ,坐标轴矢量用坐标系标号的小写字母表示。
解:
杆上没有相对惯性系固定的点,因此我们使用关于质心的动能表达式
可以写出坐标系间的角速度
接下来需要求出
将 也用 表示
计算出惯性张量:
则平动动能与转动动能分别为:
杆的动能为
研究刚体动力学所欠缺的内容到此结束,我们可以进行一些简单的刚体动力学研究了。
之前内容:
参考文献:F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.
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