本节介绍刚体动力学的基本内容——刚体动能求解。前面介绍了质点动力学的基本的分析力学方法,但大部分物理问题都不能简单地看作质点系模型,因此有必要研究刚体动力学,而研究刚体动力学时,最大的问题就是欠缺解算刚体动能的方法,这将在本节进行简单介绍。

1. 刚体的动能

对于质点系,有拉格朗日方程成立,那么对于刚体,其依然是成立的。那么刚体的动能如何表示?

图3-1.

如图3-1所示,在刚体上某点 [公式] 建立旋转系 [公式] ,取位于刚体上某点 [公式] 的一个微元 [公式] ,微元的位矢为 [公式] ,微元相对 [公式] 点的速度为

[公式]

微元的动能:

[公式]

刚体的动能:

[公式]

[公式]

[公式] 不受微元 [公式] 选取的影响,因此

[公式]

[公式]

利用性质 [公式] ,得

[公式]

由已有的牛顿力学知识, [公式] 项即为 [公式] (本文主要介绍分析力学,默认读者已经掌握基本的牛顿力学知识,因此不再详细介绍此处的推导),其中 [公式] 为刚体关于点 [公式] 的惯性张量,因此

[公式]

因此有

[公式]

上式就是刚体动能的表达式

若取点 [公式] 与刚体质心 [公式] 重合,有 [公式] ,因此

[公式]

上式第一项称为刚体的平动动能,第二项称为刚体的转动动能。

若取点 [公式] 为刚体上相对惯性系固定的点 [公式] (若存在的话),有 [公式] ,则

[公式]

例3-1. 动力学系统如图3-1所示,L型杆在以角速度 [公式] 旋转,其上固定着一直杆,求出杆的动能。如图所示,相关坐标系已建立完毕,分别为惯性系 [公式] 、随L杆旋转的旋转系 [公式] 、随直杆旋转的旋转系 [公式] ,坐标轴矢量用坐标系标号的小写字母表示。

图3-2. 动力学系统示意图

解:

杆上没有相对惯性系固定的点,因此我们使用关于质心的动能表达式

[公式]

可以写出坐标系间的角速度

[公式]

接下来需要求出 [公式]

[公式]

[公式]

[公式]

 [公式] 也用 [公式] 表示

[公式]

计算出惯性张量:

[公式]

[公式]

则平动动能与转动动能分别为:

[公式]

[公式]

杆的动能为

[公式]

研究刚体动力学所欠缺的内容到此结束,我们可以进行一些简单的刚体动力学研究了。

之前内容:

参考文献:F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.