内模原理(Internal Model Principle,IMP)的阐述版本有很多,但是大致意思都差不多,即:当系统受到外部扰动作用时,调节控制器应当包含外扰的模型以实现零稳态误差。在上一篇文章中:

我们讲到了把外扰与参考信号的模型 [公式] 包含于控制器中,这样闭环系统就能解决鲁棒线性输出调节问题(Robust Linear Output Regulation),这个原理就是内模原理。这一篇我们就来展开一些内模原理的讨论。

本篇目录:

1.内模原理 Internal Model Principle

2. 积分控制: 基于IMP的简单控制设计 Examples of application of IMP

3. 误差空间方法: 基于内模原理设计的常用方法 Error-space Approach

4. 总结 Summary


1. 内模原理 Internal Model Principle

内模原理(IMP)的简要描述就是:反馈控制器必须包含外界扰动的模型,才能使得闭环系统能够抵抗扰动和系统参数变化,并且调节输出,即实现robust linear output regulation。

能看到一些参考文献中是从SISO系统的角度来解释内模原理的,用的比较多的也是PI控制器可以抑制常值或者阶跃信号。内模原理的证明并不复杂,但我不想在这里花这个时间重复已经做过的工作(证明可以参见[1,p26])。下面是[1]中对内模原理的一个定理,实际上是对我们上一篇文章的总结:

定理1(内模原理,IMP): 如果一个动态状态反馈控制律:
[公式]
能够解决下列线性系统的robust output regulation problem:
[公式]
其中 [公式] 是系统输出, [公式] 是代表外扰向量(包括扰动和参考信号),且 [公式] 是能控的。那么 [公式] 一定正好含有 [公式] 个不变因子(invariant factor),且每个不变因子都能被 [公式] 的极小多项式(minimal polynomial)整除。

注:关于矩阵的不变因子和rational canonical form请参考:Rational Canonical Form不变因子-Wikipediarational canonical form。这里不详细展开,这其实属于线性代数的高级知识了,所以说以前的学者Linear Algebra是真的过硬。我们不追求证明的细节,但作大致理解即可。

我们在上一篇中知道, 实现robust output regulation problem,[公式] 必须拥有条件:

回顾定义(p-copy internal model)[1,p20]: 给定任意一个方阵 [公式] ,如果一个矩阵对 [公式] 有如下的形式: [公式] 其中 [公式] 可以是任意维度的常数矩阵,只要矩阵之间维度是兼容运算的。 [公式] 是与 [公式] 同维的非奇异矩阵。 [公式] 描述如下: [公式] 其中的 [公式]  [公式] 是常数方阵维度为某个整数 [公式]  [公式] 是一个常数向量,维度也为 [公式] ,使得:
(i) [公式] 是controllable的
(ii) [公式] 极小多项式(minimal polynomial) 能除 [公式] 特征多项式(characteristic polynomial)。 那么我们就说矩阵对 [公式] 包含了p份A的内模(incorporate p-copy internal model of A)

实际上 [公式] 个不变因子以及 [公式] 的极小多项式能整除每个不变因子,正是(i)(ii)这两个条件的另一种表述。以最简单的情况,当选择 [公式] 时, 由于它们具有(4)的结构,首先(i)能保证能控性,(ii)保证了 [公式] 能被 [公式] 的极小多项式整除。而 [公式] 正是 [公式] 的rational canonical form:因为每个方阵都与一个rational canonical form相似,或者说都能通过非奇异变换成为了RCF,并且形式是以友矩阵为对角矩阵块的矩阵,即 [公式] 的形式。这里我们取特殊情况,其本身就是RCF形式。而每个友矩阵 [公式] 所对应的首一多项式(monic polynomial)正是 [公式] 的不变因子。所以这等效于 [公式]  [公式] 个能被 [公式] 的极小多项式整除的不变因子。

内模原理的概念是由[2]这篇文章正式提出并且证明的。感兴趣的同学可以去读一读,里面的符号和[1]中有些用的不一样,但是大致意思其实换了符号之后都是一样的。我没有采用[2]中的符号,免得太多数学符号看起来劝退读者。

Again,追求证明的细节可以,不过我们重在理解概念和重要的定理,做到心中有一个数。线性的东西在学术上已经过时了,但是应用上仍然有其价值。很多时候,我们知道一个东西的存在,比这个东西的其他属性都要远远重要,比如:外星人?(joking)。

2. 积分控制: 基于IMP的简单控制设计 Examples of application of IMP

本来一直在讲Franklin那本教材上的东西,时不时扩展出去补充,不过这次花了很久才把Output Regulation这一部分的内容补充差不多,原因就在于这内模原理表述简单,但需要一定的时间地整理才能总结清楚。本来FCDS这本书里只讲到了Error space method来实现robust output regulation,而且书中的方法是一种内模原理的特殊情况。我这里要再次回归我们熟悉的教材[3],以及参考另一本教材[4]中的有关章节讲述IMP的简单应用。

现在考虑设计一个compensator能够让系统渐进跟踪参考信号,并且实现zero steady-state error。参考信号可以是steps,ramps或者其他能够持续的信号,比如正弦信号。现在让系统模型为:

[公式]

其中 [公式] 是外扰, [公式] 是两个传递矩阵。我们假设外扰由下列模型生成(初值未知):

[公式]

[公式] 是扰动系统矩阵, [公式] 是扰动输出矩阵。再考虑一个参考信号 [公式] , 是由线性系统(初值未知)是产生:

[公式]

其中 [公式] 是信号系统矩阵, [公式] 是信号模型的输出矩阵。我们把(6)(7)全部都可以看做是系统“综合扰动”,写作:

[公式]

我们要实现参考信号追踪,那么现在就定义追踪误差 [公式] 

[公式]

于是等效地得到新系统:

[公式]

又记为:

[公式]

[公式]

 [公式] 看作是外扰,那么(5)的追踪问题,就变成了(12)的调节问题: 设计 [公式] 使得(12)闭环系统渐进稳定,且调节输出 [公式] 至原点。

综合扰动的等效模型(8)可以由微分方程描述:

[公式]

在这个设定下让我们来考虑系统追踪阶跃信号(step signal)并且保证稳态零误差,还要抑制外界的常值扰动。我们有:

[公式]

所以初值未知的综合扰动满足 [公式] 

[公式]

我们对 [公式] 求导得到:

[公式]

其中我们令 [公式] 为新的变量 [公式] 。由此用新的一套状态变量构成等价系统:

[公式]

注意到 [公式] 。现在我们可以等效地设计一个控制律 [公式] 实现(17)的闭环稳定,即 [公式] 会稳定到原点。让我们对(18)进行积分:

[公式]

注意积分我们不关心常数项,从(19)到(18)微分就会消除常值。

(19)就是之前讲过的积分控制。让我们看看(19)是不是满足内模原理所要求的控制器必要结构

[公式]

如果 [公式] ,我们令

[公式] 那么关键就是 [公式] 是什么?很明显这里应该是一个零元矩阵。因为此时 [公式] 是一个 [公式] 的零元方阵,其极小多项式 [公式] 就为 [公式](因为满足最小次数的多项式 [公式] ),那么其对应的友矩阵就是一个一维的零矩阵。因为其特征方程为:

[公式]

因此我们把此友矩阵当作 [公式] ,即 [公式] ,并作p份拷贝,生成 [公式] 构成我们的原理中的 [公式] 矩阵:

[公式]

我们再取特殊情况 [公式] ,我们就可以令 [公式] 

 [公式] 对照(19)自然是取单位矩阵 [公式] 了,那么是不是符合内模原理的要求呢? 这是当然的,因为我们要选取(4)中的 [公式] 使得 [公式] 是controllable的,当 [公式] 时, [公式] 一定就可以为任意常数。在这里,我们取 [公式] ,因此根据定义:

[公式]

按照我们上面的特殊情况 [公式] ,因此 [公式] 

这样我们发现控制律(19)-即积分控制器完全符合内模原理所要求的鲁棒输出调节器必要结构,因此可以让闭环系统跟踪阶跃信号抵抗常值和阶跃扰动并且具有很强的鲁棒性,能抵抗系统参数的变化。我们把这种鲁棒性称之为系统的结构稳定(structurally stable)所以PI控制器正是从内模原理中可以得出的必要结构(针对常值和阶跃扰动)。

同时,这也是为什么所谓的I型系统(传递函数有因子 [公式] ,更高型可类推。)可以实现常值或者阶跃信号的稳态零静差——因为开环模型中自带了扰动的模型,即便控制器有没有积分作用,仍然能实现同样的效果。参考[6]中有相关的结论,我们发现只要控制器传递函数和plant传递函数乘积,即开环传递函数包含外扰模型,就能reject disturbance,实现reference tracking。

下图是[4]中对于积分控制的内模示意:

积分控制之所以能够reject阶跃和常值扰动,保证阶跃追踪无静差,是因为控制器包含了外扰动的内模1/s

我们应当看到,控制律(19)并不是单单作用于SISO系统,而是可以作为MIMO系统的控制律。这里的误差 [公式] 不一定是一维的,而可能是多维的,而控制输入 [公式] 也不一定是一维的,也可以是多维的。我们要搞清楚各矩阵的维度!

3. 误差空间方法: 基于内模原理设计的常用方法

从(12)到(17),我们把 [公式] 从输出转化为了状态变量,从而跟踪问题就转变成了镇定问题。像这样把误差相关的信号作为状态变量的控制设计方法称为误差空间方法(The Error-Space Approach)。我们以一个二阶SISO系统为例再次演示这种设计方法,并且设计其跟踪一个ramp 信号 [公式] ,实现稳态零误差,并且能够reject正弦信号 [公式] 

首先我们要把产生 [公式] 的微分方程写出来:

[公式]

[公式]

开环系统是:[公式]

我们计算外扰模型的极小多项式 ,即[公式] 的极小多项式(可以用matlab的命令minpoly求):

[公式]

我们还注意到,这时候综合扰动 [公式] 满足(27):

[公式]

如果采用内模原理的必要结构,我们寻找一个(27)的对应的友矩阵作为 [公式] :

[公式]

由于误差 [公式] 的维度在这里是1,所以 [公式] ,所以我只需要 [公式] 这一份copy,即:

[公式]

那么动态反馈控制器就有:

[公式]

剩下的就是设计 [公式] 使得系统闭环稳定了。 这是从内模原理的结论直接采用必要结构计算得到控制器方程。

下面我们从Error-Space Approach来得到(31)。我们根据综合扰动的模型(28)计算:

[公式]

显然根据(28) [公式] ,所以上式可以记为:

[公式]

我们再写出关于 [公式] 的动态方程,它正好就是:

[公式]

我们记一个新的状态变量 [公式] ,构成新的误差空间状态变量。现在把(32)与(33)整理成状态空间:

[公式]

其中 [公式] 就是我们的等效控制输入。我们只要让(34)闭环稳定,这样等价系统(26)也闭环稳定,从而实现了robust linear output regulation问题。现在让我们设计反馈控制器使得(34)闭环稳定

[公式]

这样一来我们就得到了控制律(35),我们把 [公式] 代入得到控制律,也是本节关键

[公式]

(36)只是一个控制律,实际的控制器设计必须要得到(36)的一个可实现结构。我们将微分方程(36)实现为状态空间,需要用到一定的技巧。这里我们采用能控标准型的方法,记 [公式] ,把 [公式] 当作输入,我们得到(36)的等价形式:

[公式]

 [公式] ,能控标准型为:

[公式]

而输出 [公式] ,我们得到实际的控制律是:

[公式]

让我们把(38)与(29)-(31)做一个对比,我们发现他们的形式完全一样 这正是内模原理下控制器拥有的必要结构。控制器中所包含的矩阵 [公式] 所对应的特征多项式正包含了外扰 [公式] 的模型(这里极小多项式和特征多项式相同了)。

总结 Summary

终于把IMP设计这块讲完了,这一块的内容需要读者反复阅读以加深理解。关于nonlinear的output regulation将来再讲。关于linear部分的扩展阅读请参考[1],[2],[5],[6]。本文中采用的状态反馈形如: [公式] ,在状态无法得到时,应该采用状态观测器,使用输出反馈 [公式] ,其中 [公式] 包括 [公式] 的估计和原来的 [公式],参考[1,p24,式1.84]。使用可测量的输出 [公式] 代替测量输出 [公式] 的话,我们必须保证 [公式]  [公式] 之间存在转化关系。

参考文献 Reference

[1] Huang, J. (2004).Nonlinear output regulation: theory and applications.Siam.

[2] Francis, B. A., & Wonham, W. M. (1975). The internal model principle for linear multivariable regulators.Applied mathematics and optimization,2(2), 170-194.

[3] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[4] Modern.Control Systems. 12th edition. Richard C. Dorf. University of California, Davis. Robert H. Bishop. Marquette University. Prentice Hall.

[5] 控制理论导论—从基本概念到研究前沿, 郭雷;程代展;冯德兴, 科学出版社 2005

[6] 关于IMP在频域设计中的一个小lecture