台大机器人学——林沛群

  • 若6Dofs manipulator 具有三个连续的轴交在同一点,则手臂具有解析解。
  • 一般会把后三轴如此设计:
    • 前三轴——产生移动
    • 后三轴——产生转动
PUMA机器人

EX: A RRRRRR Manipulator

  • 因为后三轴交在同一点:

STEP1 -- Positioning Structure 先解移动部分

  • 法则:让 [公式] 层层分离;
备注:i to i-1 的 Trans Metrics (CRAIG..)
  • 给定手腕坐标 [公式]
将23T与34P相乘
  • 所以, [公式] 
除了c3和s3剩余都是常数(根据DH表),成功分离\theta_3
  • 同理,继续乘开,有:
最后乘开,得到[x,y,z]和(\theta_1,\theta_2,\theta_3)的关系
  • 所以, [公式] 

(1) 计算手腕位置相对于0点的长度平方:

其中,k具体为:

通过求r, 消除了 [公式] ,仅仅为 [公式] 的函数,形式更加简洁。

(2)取出z,由前式可知,z仅与 [公式] 有关:

通过这种方式,汇总成r和z的条件,整合r和z一起:

① if [公式] ,有: [公式] ,仅 与 [公式] 有关;

② if [公式] , 有: [公式] 

③ 若以上都不为0,相加相乘,有:

在10中,我们给出了代换方式:

(1)

通过(1)解出 [公式] ,接着:

(2),(3)

通过这种方式,我们对于空间中任意点手腕位置 [公式] ,可以求出对应各个执行器的 [公式] 这一部分决定了手臂可以移动到的位置


STEP_2 --- 再解转动部分(Orientation)

  • [公式] 已知,接下来需要解的就是: [公式]
\theta_4,\theta_5,\theta_6,三个转轴明显交于一点
  • 以Z-Y-Z Euler angle 求解 [公式]
  • 首先,明确各个定义

DH Definition:

  • [公式] 的定义,就是沿者 [公式] 轴,从 [公式]  [公式] 转过的角度。
  • [公式] 的定义,就是沿者 [公式] 轴,从 [公式]  [公式] 转过的角度。
  • 同理,关于 [公式]

Z-Y-Z Euler Angles Definition(Green Part in the pic)

DH(Red) v.s. Z-Y-Z Euler Angles(Green)

存在以下转换关系(很直接):

  • [公式] 
  • [公式] ;
  • [公式]

SUMMARIZATION