学习笔记:数值最优和模型预测控制(一)概述

Cum enim mundi universi fabrica sit perfectissima atque a Creatore
sapientissimo absoluta, nihil omnino in mundo contingit, in quo non
maximi minimive ratio quaepiam eluceat; quamobrem dubium prorsus
est nullum, quin omnes mundi effectus ex causis finalibus ope methodi
maximorum et minimorum aeque feliciter determinari queant, atque ex
ipsis causis effcientibus.
由于最聪明的创造者最完美地完成了整个世界的构建,万物无不闪耀于最大抑或最小的比率之间; 因此,毫无疑问,借助最大和最小的方法能同样成功探求世界上所有基于最终原因(final causes)的作用量,就如同可以确定被引发的原因本身一样。-----莱昂哈德·欧拉

这是欧拉在阐述变分法中提到的,他基于数学直觉,对万事万物的感悟。

最优化即广义上地寻找最优解地过程,最优化在经济金融、生产制造、控制等众多领域有一席之地,它的数学表达区分出了静态和动态最优问题的求解,一般而言:

静态最优问题:取函数最小化的位于欧几里得空间的最优变量。

动态最优问题:取函数最小化的位于希尔伯特空间的最优变量(比如时变的变量)。

1.1静态最优问题

静态最优问题考察了基于一定约束条件的函数 [公式] 的最优过程,它的变量 [公式] 

一个静态最优问题的标准函数通常可以给出

(1.1)[公式] 代价函数
(1.2) [公式] 等式约束
(1.3) [公式] 不等式约束

若最优化问题没有(1.2)(1.3)的附加条件,可视为无约束最优问题,不过一般都会考虑。现在对最优问题的求解已经逐渐标准化,于是求最大值问题也可以用求最小值来表述。

(1.4) [公式]

静态最优化也可被称为数学规划(Mathematische Programmierung)或是有穷维最优(Endlich-Dimensionale Optimierung)。“规划”源自历史概念,由美国应用数学家 George B. Dantzig首次提出并使用。静态最优问题经常可以细分到以下类别:

  • 线性规划:代价函数和约束都是线性的
  • 二次规划:代价函数为二次函数,约束仍为线性
  • 非线性规划:代价函数或至少一个约束为非线性
  • 整数规划:所有变量均为离散
  • 混合整数规划:离散和连续的变量都有出现

(例1)线性规划

线性规划常常在经济学中被使用,投资组合最优(Portfolio-Optimierung)即经典案例。

例1.1 比如,一个投资人准备投资10000欧元,选择以下几种收益和风险等级不同的基金

[公式]

投资人希望一年以后至少有600欧收益。此外他希望保守稳健的投资策略,将投入至少4000欧,并且希望总的风险最小。

给出对应三种基金ABC的投资比例的最优变量 [公式] 

(1.5) [公式]

[公式]  [公式] 表示,则总收益为

(1.6) [公式]

至少4000欧投资

(1.7) [公式]

此外,(1.1) [公式] 。设投资风险为 [公式]

(1.8) [公式]

于是该静态最优问题有以下形式:

(1.9) [公式]

可作图求解得到目标最优点 [公式]

图1 投资组合最优的图解

可以求出在容许集里使得目标函数取值最小的点的解 [公式]

例1.2 另考虑一个二次无约束最优问题

(1.10) [公式]

此时有圆形的等高线 [公式] 由最优变量 [公式] 表示,显然其最小值 [公式] 会在 [公式] 处取到。

图1.2 无约束最优几何图解

如果取额外的约束条件

(1.11) [公式]

这对应了代数约束条件,此时还剩余一个自由的变量。几何图解为一条可能的直线。图示可得最优解应为 [公式]  [公式] 的交点 [公式] 

图1.3 带约束最优几何图解

另考虑不等式约束

(1.12) [公式]

则此时最优点为边界直线 [公式] 相切于等高线 [公式]  [公式]

图1.4 带不等式约束最优几何图解

最后,还可再列一个不等式约束

(1.13) [公式]

如此便将容许集(zulässige Menge)里的点进一步变小,最优点落在两约束交点处 [公式] ,则等高线 [公式] 处有最优点 [公式]

图1.5 带两个不等式约束最优几何图解

1.2动态最优问题

对于动态最优问题而言,关键在于确定函数的一个独立变量,因为函数的独立变量往往是关于 [公式]时变的。一般的动态最优问题结构为

(1.14)[公式] 代价泛函 
(1.15) [公式] 系统动态以及初始值
(1.16) [公式] 终止条件 
(1.17) [公式] 不等式约束
其中输入轨迹 [公式] 状态变量轨迹 [公式]

当(1.15)用作初始条件时,(1.16)常常也用作终止条件,比如在终止时间 [公式] 的目标状态希望能达到,即 [公式] 。而(1.17)常常作为对输入控制信号或状态变量的边界限制。所以动态最优问题的过程在于找出区间 [公式] 的输入轨迹 [公式] ,使对应时间区间内动态系统的状态变量轨迹 [公式] 满足起始和终止约束条件,同时亦能使泛函(1.14)达到最小。若给定 [公式] ,则称为定终止时间,不然则为不定终止时间。

动态最优化也可被称为无穷维最优,最优控制或是动态规划。下面给出例子。

(例2)动态规划

例2.1 一个经典控制问题即固定在小车上的倒立摆控制。

(1.18)[公式]

其简化的运动方程的状态变量 [公式] 经过归一化。 [公式] 为作用在小车上的归一化的水平力。下图为倒立摆小车的自平衡过程快照

图1.6 倒立摆小车运动的快照

代价泛函和最优问题取决于参数 [公式] 。当 [公式] 时,最优任务简化为使终止时间变小。

(1.19) [公式]

 [公式] 则变为考察泛函的能量最优。下图展示了不同参数 [公式] 的最优轨迹。注意到, [公式]时,输入的控制为Bang-Bang控制,而 [公式] 则控制幅值越小,摆的偏移终止时间 [公式] 越大。

图1.7 不同参数下倒立摆小车的最优轨迹

倒立摆是一个很好的例子,用来展示不是每一个最优问题的解都存在,尤其是当终止时间 [公式] 不确定时。当终止时间在 [公式] 增大的权重下,与代价泛函时间最优的部分相比,也不断增大。当只考虑能量最优的话,就意味着没有解。

(1.20) [公式]

因为倒立摆的偏移可以无限慢, [公式] 

例2.2 Goddard火箭的最优问题。

一个关于航天的经典最优问题是,在考虑空气摩擦以及地心引力情况下火箭最大升空高度。它由美国火箭专家Robert H. Goddard在1919年提出,可以归一化后描述为以下式子:

(1.21) [公式]

状态变量为飞行高度 [公式] ,飞行速度 [公式] ,火箭质量 [公式] 。空气阻力与 [公式] 有关,为

(1.22) [公式]

终止时间时的质量 [公式] 视为燃料耗尽的空载质量,推力(Schub)为 [公式] 。下图显示了最优轨迹(实线)和恒最大推力的航天轨迹(虚线)的对比。起初两者都是最大推力航行,之后最优控制下的轨迹在完全耗尽燃料前,经历了一个类抛物线的推力增长,这是由空气阻力随高度递减触发的。在高阻时保守,低阻时激进的策略便可实现“最优”,因为初始高空气阻力时没有采用最大推力航行,这样节省下来的燃料相比恒最大推力火箭,提升了约 [公式] 的飞行高度。

图1.8 火箭飞行的轨迹对比

例2.3 经济学模型

在经济学领域也对动态最优有一定应用,下列模型描述了典型消费者行为。消费者希望消费(Konsum)、可支配自由时间和教育程度在整个生命周期里达到最大。记教育程度为 [公式](Bildungsgrad),平均可支配资本为 [公式] (Kapital),则可有如下的模型

(1.23) [公式]

(1.24) [公式]

输入量 [公式] 为消费,工作时间对总时间占比为 [公式] ,深造时间对工作时间占比 [公式] ,于是各个输入有关系为

(1.25) [公式]

考虑在总寿命为 [公式] 区间内,消费的最优化目标为最大化消费,自由时间以及教育程度。可以用下列代价泛函表达:

(1.26) [公式]

其中被积部分为

(1.27) [公式]

它权衡了消费 [公式] ,自由时间 [公式] 以及教育程度 [公式] 的贡献比重,而终值 [公式] 则额外考察了遗产的部分。所以,最优教育程度 [公式] 和积累资本 [公式] 的历程如图所示。

最初17年开始了学习阶段(此时 [公式] ),之后跟着就是伴随大量进修深造持续34年的工作阶段,接下来10年(大约52-61岁)的纯工作阶段并且有额外的工作时间递减。从62岁开始退休。教育程度 [公式] 在30-60岁之间特别高。而资本在前半生为负,这相当于使用了贷款,不过它会在生命周期里被不断提高的收入补偿。

图1.9 消费者行为的最优轨迹

参考文献:

Numerische Optimierung und modellprädiktive Regelung (WS 2019/2020), A. Völz, K. Graichen, Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg