Cum enim mundi universi fabrica sit perfectissima atque a Creatore
sapientissimo absoluta, nihil omnino in mundo contingit, in quo non
maximi minimive ratio quaepiam eluceat; quamobrem dubium prorsus
est nullum, quin omnes mundi effectus ex causis finalibus ope methodi
maximorum et minimorum aeque feliciter determinari queant, atque ex
ipsis causis effcientibus.
由于最聪明的创造者最完美地完成了整个世界的构建,万物无不闪耀于最大抑或最小的比率之间; 因此,毫无疑问,借助最大和最小的方法能同样成功探求世界上所有基于最终原因(final causes)的作用量,就如同可以确定被引发的原因本身一样。-----莱昂哈德·欧拉
这是欧拉在阐述变分法中提到的,他基于数学直觉,对万事万物的感悟。
最优化即广义上地寻找最优解地过程,最优化在经济金融、生产制造、控制等众多领域有一席之地,它的数学表达区分出了静态和动态最优问题的求解,一般而言:
静态最优问题:取函数最小化的位于欧几里得空间的最优变量。
动态最优问题:取函数最小化的位于希尔伯特空间的最优变量(比如时变的变量)。
1.1静态最优问题
静态最优问题考察了基于一定约束条件的函数 的最优过程,它的变量 。
一个静态最优问题的标准函数通常可以给出
(1.1) 代价函数
(1.2) 等式约束
(1.3) 不等式约束
若最优化问题没有(1.2)(1.3)的附加条件,可视为无约束最优问题,不过一般都会考虑。现在对最优问题的求解已经逐渐标准化,于是求最大值问题也可以用求最小值来表述。
(1.4)
静态最优化也可被称为数学规划(Mathematische Programmierung)或是有穷维最优(Endlich-Dimensionale Optimierung)。“规划”源自历史概念,由美国应用数学家 George B. Dantzig首次提出并使用。静态最优问题经常可以细分到以下类别:
- 线性规划:代价函数和约束都是线性的
- 二次规划:代价函数为二次函数,约束仍为线性
- 非线性规划:代价函数或至少一个约束为非线性
- 整数规划:所有变量均为离散
- 混合整数规划:离散和连续的变量都有出现
(例1)线性规划
线性规划常常在经济学中被使用,投资组合最优(Portfolio-Optimierung)即经典案例。
例1.1 比如,一个投资人准备投资10000欧元,选择以下几种收益和风险等级不同的基金
投资人希望一年以后至少有600欧收益。此外他希望保守稳健的投资策略,将投入至少4000欧,并且希望总的风险最小。
给出对应三种基金ABC的投资比例的最优变量 。
(1.5)
用 表示,则总收益为
(1.6)
至少4000欧投资
(1.7)
此外,(1.1) 。设投资风险为
(1.8)
于是该静态最优问题有以下形式:
(1.9)
可作图求解得到目标最优点
可以求出在容许集里使得目标函数取值最小的点的解
例1.2 另考虑一个二次无约束最优问题
(1.10)
此时有圆形的等高线 由最优变量 表示,显然其最小值 会在 处取到。
如果取额外的约束条件
(1.11)
这对应了代数约束条件,此时还剩余一个自由的变量。几何图解为一条可能的直线。图示可得最优解应为 与 的交点 。
另考虑不等式约束
(1.12)
则此时最优点为边界直线 相切于等高线 处
最后,还可再列一个不等式约束
(1.13)
如此便将容许集(zulässige Menge)里的点进一步变小,最优点落在两约束交点处 ,则等高线 处有最优点
1.2动态最优问题
对于动态最优问题而言,关键在于确定函数的一个独立变量,因为函数的独立变量往往是关于 时变的。一般的动态最优问题结构为
(1.14) 代价泛函
(1.15) 系统动态以及初始值
(1.16) 终止条件
(1.17) 不等式约束
其中输入轨迹 状态变量轨迹
当(1.15)用作初始条件时,(1.16)常常也用作终止条件,比如在终止时间 的目标状态希望能达到,即 。而(1.17)常常作为对输入控制信号或状态变量的边界限制。所以动态最优问题的过程在于找出区间 的输入轨迹 ,使对应时间区间内动态系统的状态变量轨迹 满足起始和终止约束条件,同时亦能使泛函(1.14)达到最小。若给定 ,则称为定终止时间,不然则为不定终止时间。
动态最优化也可被称为无穷维最优,最优控制或是动态规划。下面给出例子。
(例2)动态规划
例2.1 一个经典控制问题即固定在小车上的倒立摆控制。
(1.18)
其简化的运动方程的状态变量 经过归一化。 为作用在小车上的归一化的水平力。下图为倒立摆小车的自平衡过程快照
代价泛函和最优问题取决于参数 。当 时,最优任务简化为使终止时间变小。
(1.19)
若 则变为考察泛函的能量最优。下图展示了不同参数 的最优轨迹。注意到, 时,输入的控制为Bang-Bang控制,而 则控制幅值越小,摆的偏移终止时间 越大。
倒立摆是一个很好的例子,用来展示不是每一个最优问题的解都存在,尤其是当终止时间 不确定时。当终止时间在 增大的权重下,与代价泛函时间最优的部分相比,也不断增大。当只考虑能量最优的话,就意味着没有解。
(1.20)
因为倒立摆的偏移可以无限慢, 。
例2.2 Goddard火箭的最优问题。
一个关于航天的经典最优问题是,在考虑空气摩擦以及地心引力情况下火箭最大升空高度。它由美国火箭专家Robert H. Goddard在1919年提出,可以归一化后描述为以下式子:
(1.21)
状态变量为飞行高度 ,飞行速度 ,火箭质量 。空气阻力与 有关,为
(1.22)
终止时间时的质量 视为燃料耗尽的空载质量,推力(Schub)为 。下图显示了最优轨迹(实线)和恒最大推力的航天轨迹(虚线)的对比。起初两者都是最大推力航行,之后最优控制下的轨迹在完全耗尽燃料前,经历了一个类抛物线的推力增长,这是由空气阻力随高度递减触发的。在高阻时保守,低阻时激进的策略便可实现“最优”,因为初始高空气阻力时没有采用最大推力航行,这样节省下来的燃料相比恒最大推力火箭,提升了约 的飞行高度。
例2.3 经济学模型
在经济学领域也对动态最优有一定应用,下列模型描述了典型消费者行为。消费者希望消费(Konsum)、可支配自由时间和教育程度在整个生命周期里达到最大。记教育程度为 (Bildungsgrad),平均可支配资本为 (Kapital),则可有如下的模型
(1.23)
(1.24)
输入量 为消费,工作时间对总时间占比为 ,深造时间对工作时间占比 ,于是各个输入有关系为
(1.25)
考虑在总寿命为 区间内,消费的最优化目标为最大化消费,自由时间以及教育程度。可以用下列代价泛函表达:
(1.26)
其中被积部分为
(1.27)
它权衡了消费 ,自由时间 以及教育程度 的贡献比重,而终值 则额外考察了遗产的部分。所以,最优教育程度 和积累资本 的历程如图所示。
最初17年开始了学习阶段(此时 ),之后跟着就是伴随大量进修深造持续34年的工作阶段,接下来10年(大约52-61岁)的纯工作阶段并且有额外的工作时间递减。从62岁开始退休。教育程度 在30-60岁之间特别高。而资本在前半生为负,这相当于使用了贷款,不过它会在生命周期里被不断提高的收入补偿。
参考文献:
Numerische Optimierung und modellprädiktive Regelung (WS 2019/2020), A. Völz, K. Graichen, Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
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