先上结论:

完整约束(有时也称可积约束)可是对位形的约束,可以有效减少C-空间的维数。

非完整约束是对速度的约束,不可以减少C-空间的维数

Pfaffian约束 [公式] 的速度约束方程。


对于一个闭环的平面四杆机构,我们总是可以写出其方程:

我们使用 [公式] 来隐式的表达其位形空间(如该四杆机构,其自由度为1,但用四个关节角来表示)。将约束方程写为向量形式有:

到现在,我们的n=4,列出了一个k=3的独立约束方程,它将四杆机构的位形限制为1(即有效减少了C-空间的维度)。此时可以将该四杆机构看为嵌入在4维空间的1维曲线。我们将这样的约束称为完整约束

这时,我们对闭环方程两边相对进行微分(注意,这里的速度已经不是作为位置的导数出现了),有:

[公式] 这样的速度约束方程就叫做Pfaffian约束

  • 这里 [公式] ,可以将 [公式] 看作维 [公式] 的积分。所以也将 [公式]的完整约束成为可积约束
  • 完整约束从本质上来讲是其速度约束的积分(即其速度约束可以通过积分变为等效的位形约束)。

举一个小车的例子来说明非完整约束。小车在空间中可以使用 [公式] 来表示并对其速度建立约束方程:

该速度约束的积分并不能限制位形(我们的车还是可以到达空间中的任意位置)。我们将这样的约束成为非完整约束。但该约束确实对小车的速度进行了约束(消减了可能的速度空间),如改小车不能进行侧向移动(非全向轮)。

机器人可以同时收到完整约束与非完整约束:以小车为例,三个完整约束将其限制在平面上,一个非完整约束使得其不能直接侧向移动。

总结:

任务空间以及工作空间

任务空间:机器人的任务能够自然表达的空间。任务空间只与任务本身有关,而与机器人无关。

工作空间:指机器人末端执行器所能达到的位形的指标。取决于机器人结构,与任务无关。

灵巧工作区间:机器人可以以任意姿态到达的位置的集合。