机器人学导论三
雅克比
雅克比矩阵
对向量求导,也就是求q的偏导,左边是m×1向量,右边是m×n矩阵乘以n×1向量 = m×1向量,左右相等。求出来的就是雅克比矩阵。
瞬时运动学
瞬时运动学(Instantaneous kinematics)也是描述从关节空间到操作空间的映射,不过“瞬时”表明它不是描述“静态”的位置,而是描述“动态”的速度。
x=f(q)
其中,q向量表示关节位置,x向量表示end effector的位置和朝向。
当我们说“瞬时运动学”求解的是从关节空间到操作空间的速度映射时,由于速度描述的是短时间内的位置变化,即位置对时间的导数,相信你很自然地会想到我们需要求解这样一个函数:
现在我们的任务就是,从“正运动学”公式推导出“瞬时运动学”公式:
将关节空间的速度与操作空间的速度连接起来的,就是由向量求导获得的雅可比矩阵。现在,让我们把这个重要的结论用数学方式表示出来,用J表示向量x对向量q的导数:
根据一开始讲的向量求导方法,J是一个矩阵。这个矩阵其实一点也不抽象:如果我们仔细看它的每一个元素,就会发现它的第i行第j列表示的物理意义就是当第j个关节运动时,操作空间的第i个平动/转动方向会如何运动:
下面就来看看雅克比是怎么来的?以及如何求解?需要哪些参数?
微分运动
线速度
位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空间一点的线速度。在通常的情况下, 速度矢量都是与空间的某点相关的, 而描述此点速度的大小取决千两个坐标系: 一个是进行微分运算的坐标系, 另一个是描述这个速度矢量的坐标系。
角速度
刚体的线速度和角速度
线速度
角速度
两坐标系的原点重合、相对线速度为零的情况, 而且它们的原点始终保持重合。其中一个或这两个坐标系固连在刚体上。
图所示为用两个瞬时量表示矢量P绕Ω的旋转。 这是从固定坐标系中观测到的。
第二, 从图可以看出微分增量的大小为:
vP=Ω×P
书中的例子详细讲解了角速度的变换
连杆间的速度传递
现在讨论计算机器人连杆线速度和角速度的问题。操作臂是一个链式结构,每一个连杆的运动都与它的相邻杆有关。由千这种结构的特点,我们可以由基坐标系依次计算各连杆的速度。连杆i+1的速度就是连杆i的速度加上那些附加到关节i+1上的新的速度分量。
雅克比显式
求显式
整理可得
由此,可得关于雅克比矩阵的函数。
取任意关节处的旋转向量Ω i
从此关节的线速度和角速度求末端执行器的角速度和线速度
整理
由此可得雅克比矩阵显式
雅克比在各个坐标系的表达
向量表达:
0坐标系表达:
案例
求DH参数
求其次变换矩阵
取Z i
John J. Craig《机器人学导论》
斯坦福大学《机器人学讲义》
oCCo(古月居)《干货 | “瞬时运动学”——还是从关节空间到操作空间(雅可比矩阵上篇)》
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