机器人学导论三

雅克比

雅克比矩阵

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对向量求导,也就是求q的偏导,左边是m×1向量,右边是m×n矩阵乘以n×1向量 = m×1向量,左右相等。求出来的就是雅克比矩阵。

瞬时运动学

瞬时运动学(Instantaneous kinematics)也是描述从关节空间到操作空间的映射,不过“瞬时”表明它不是描述“静态”的位置,而是描述“动态”的速度。

                                                                                                        x=f(q)

其中,q向量表示关节位置,x向量表示end effector的位置和朝向。
当我们说“瞬时运动学”求解的是从关节空间到操作空间的速度映射时,由于速度描述的是短时间内的位置变化,即位置对时间的导数,相信你很自然地会想到我们需要求解这样一个函数:

现在我们的任务就是,从“正运动学”公式推导出“瞬时运动学”公式:

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将关节空间的速度与操作空间的速度连接起来的,就是由向量求导获得的雅可比矩阵。现在,让我们把这个重要的结论用数学方式表示出来,用J表示向量x对向量q的导数:

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根据一开始讲的向量求导方法,J是一个矩阵。这个矩阵其实一点也不抽象:如果我们仔细看它的每一个元素,就会发现它的第i行第j列表示的物理意义就是当第j个关节运动时,操作空间的第i个平动/转动方向会如何运动:

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下面就来看看雅克比是怎么来的?以及如何求解?需要哪些参数?

微分运动

线速度

位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空间一点的线速度。在通常的情况下, 速度矢量都是与空间的某点相关的, 而描述此点速度的大小取决千两个坐标系: 一个是进行微分运算的坐标系, 另一个是描述这个速度矢量的坐标系。

角速度

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刚体的线速度和角速度

线速度

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角速度

两坐标系的原点重合、相对线速度为零的情况, 而且它们的原点始终保持重合。其中一个或这两个坐标系固连在刚体上。
图所示为用两个瞬时量表示矢量P绕Ω的旋转。 这是从固定坐标系中观测到的。

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第二, 从图可以看出微分增量的大小为:

                                                 vP=Ω×P

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书中的例子详细讲解了角速度的变换

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连杆间的速度传递

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现在讨论计算机器人连杆线速度和角速度的问题。操作臂是一个链式结构,每一个连杆的运动都与它的相邻杆有关。由千这种结构的特点,我们可以由基坐标系依次计算各连杆的速度。连杆i+1的速度就是连杆i的速度加上那些附加到关节i+1上的新的速度分量。

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雅克比显式

求显式

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整理可得

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由此,可得关于雅克比矩阵的函数。

取任意关节处的旋转向量Ω i 

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从此关节的线速度和角速度求末端执行器的角速度和线速度

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整理

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由此可得雅克比矩阵显式

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雅克比在各个坐标系的表达

向量表达:

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0坐标系表达:

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案例

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求DH参数

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求其次变换矩阵

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Z i

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John J. Craig《机器人学导论》
斯坦福大学《机器人学讲义》
oCCo(古月居)《干货 | “瞬时运动学”——还是从关节空间到操作空间(雅可比矩阵上篇)》​