一.前言

        这次主要学习一下量子基础数学,也为我们在之后方便理解代码。

二.向量表示和向量运算

        线性代数的基本对象是向量,量子计算的基本单位量子比特,使用向量来描述。

        向量表示,使用一个列矩阵:

   

        加法运算

        标量乘

 

        狄拉克(Dirac)符号,在量子理论里,需要适应并使用狄拉克符号来抽象表示

       

         

        基

        对于一组向量|0〉,...,|vn〉张成(Spanning)的Cn :

     

        这个集|0〉, ...|vn〉就做为Cn的基(Basis)。

        内积

        在Cn上的内积表示为:

       

        狄拉克符号表示为:

         

三.线性算子与矩阵

        如果满足:

 

则我们称两个向量|v〉|w〉正交

        一个正交集里的向量|i〉满足:

       

       

        完备性

        若向量集|i〉来源于Cn里的一组正交基〈j|i〉=δij,那么,完备性满足:

         

        外积

        外积|φ〉〈ψ|是一个线性算子:

         

其结果是一个矩阵

        线性算子

        给定一个线性算子A,意味着:

 

      符号表示:

   

        泡利矩阵:

     

        该算子作用在任意的众态上都等于该众态本身

   

        厄米算子

        给定一个算子A,它的厄米共轭(或自伴)是A代表转置共轭),对于一个厄米算子:

       

给定另一个算子B,满足:

     

而且

         

对于单个向量,向量V就等于它的对偶向量V。对于一个外积表达的算子做操作,我们可以看到他把相应的位置做了调换

       投影算子

       一个投影算子 P:Cn→Cm,m<n,表示为:

   

投影:顾名思义就是一个高纬度向低纬度的投影过程,所以在这里m必须满足m<n的条件

投影算子满足:

     

         正规算子

         一个算子A被称为正规(Normal),如果满足:

       

注意:如果一个算子是正规的,那它一定是可对角化(Diagonalizable)的。因此,厄米算子是正规算子。

        酉算子

        一个算子(矩阵)U被称为酉正(Unitary)的,如果满足:

       

I代表单位算子

酉矩阵非常重要,因为所有的量子逻辑门都是由酉矩阵所表示的,因此其满足条件我们要留心