一.前言
这次主要学习一下量子基础数学,也为我们在之后方便理解代码。
二.向量表示和向量运算
线性代数的基本对象是向量,量子计算的基本单位量子比特,使用向量来描述。
向量表示,使用一个列矩阵:
加法运算:
标量乘:
狄拉克(Dirac)符号,在量子理论里,需要适应并使用狄拉克符号来抽象表示
基
对于一组向量|0〉,...,|vn〉张成(Spanning)的Cn :
这个集|0〉, ...,|vn〉就做为Cn的基(Basis)。
内积
在Cn上的内积表示为:
狄拉克符号表示为:
三.线性算子与矩阵
如果满足:
则我们称两个向量|v〉,|w〉正交
一个正交集里的向量|i〉满足:
完备性
若向量集|i〉来源于Cn里的一组正交基〈j|i〉=δij,那么,完备性满足:
外积
外积|φ〉〈ψ|是一个线性算子:
其结果是一个矩阵
线性算子
给定一个线性算子A,意味着:
符号表示:
泡利矩阵:
该算子作用在任意的众态上都等于该众态本身
厄米算子
给定一个算子A,它的厄米共轭(或自伴)是A†(†代表转置共轭),对于一个厄米算子:
给定另一个算子B,满足:
而且
对于单个向量,向量V的†就等于它的对偶向量V。对于一个外积表达的算子做†操作,我们可以看到他把相应的位置做了调换
投影算子
一个投影算子 P:Cn→Cm,m<n,表示为:
投影:顾名思义就是一个高纬度向低纬度的投影过程,所以在这里m必须满足m<n的条件
投影算子满足:
正规算子
一个算子A被称为正规(Normal)的,如果满足:
注意:如果一个算子是正规的,那它一定是可对角化(Diagonalizable)的。因此,厄米算子是正规算子。
酉算子
一个算子(矩阵)U被称为酉正(Unitary)的,如果满足:
I代表单位算子
酉矩阵非常重要,因为所有的量子逻辑门都是由酉矩阵所表示的,因此其满足条件我们要留心
评论(0)
您还未登录,请登录后发表或查看评论