使用Msnhnet实现最优化问题(1)一(无约束优化问题)

使用Msnhnet实现最优化问题(1)一(无约束优化问题)

1. 预备知识

- 范数

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

- 梯度、Jacobian矩阵和Hessian矩阵

1.梯度: f(x)多元标量函数一阶连续可微

[公式]

2.Jacobian矩阵: f(x)多元向量函数一阶连续可微

[公式]

3.Hessian矩阵: f(x)二阶连续可微

[公式]

[公式]

[公式]

- Taylor公式

如果 [公式]  [公式] 处是一阶连续可微,令 [公式] ,则其Maclaurin余项的一阶Taylor展开式为:

[公式]

如果[公式]  [公式]处是二阶连续可微,令 [公式] ,则其Maclaurin余项的二阶Taylor展开式为:

[公式]

或者:

[公式]

2. 凸函数判别准则

- 一阶判别定理

[公式]

[公式] [公式]

[公式] [公式]

- 二阶判别定理

[公式][公式] [公式]

- 矩阵正定判定

[公式] [公式]

3. 无约束优化

- 无约束优化基本架构

[公式]

[公式] [公式] [公式] [公式] [公式]

[公式]

4. 梯度下降法

[公式]

[公式]在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长; [公式] 梯度的方向

梯度下降不一定能够找到全局最优解,有可能是局部最优解。当然,如果损失函数是凸函数,梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。

[公式] [公式] [公式] [公式]

-举例:[公式] [公式]

#include <Msnhnet/math/MsnhMatrixS.h>
#include <Msnhnet/cv/MsnhCVGui.h>
#include <iostream>

using namespace Msnhnet;

class SteepestDescent
{
public:
    SteepestDescent(double learningRate, int maxIter, double eps):_learningRate(learningRate),_maxIter(maxIter),_eps(eps){}

    void setLearningRate(double learningRate)
    {
        _learningRate = learningRate;
    }

    void setMaxIter(int maxIter)
    {
        _maxIter = maxIter;
    }

    virtual int solve(MatSDS &startPoint) = 0;

    void setEps(double eps)
    {
        _eps = eps;
    }

    const std::vector<Vec2F32> &getXStep() const
    {
        return _xStep;
    }

protected:
    double _learningRate = 0;
    int _maxIter = 100;
    double _eps = 0.00001;
    std::vector<Vec2F32> _xStep;
protected:
    virtual MatSDS calGradient(const MatSDS& point) = 0;
    virtual MatSDS function(const MatSDS& point) = 0;
};


class NewtonProblem1:public SteepestDescent
{
public:
    NewtonProblem1(double learningRate, int maxIter, double eps):SteepestDescent(learningRate, maxIter, eps){}

    MatSDS calGradient(const MatSDS &point) override
    {
        MatSDS dk(1,2);
        // df(x) = (2x_1,2x_2)^T
        double x1 = point(0,0);
        double x2 = point(0,1);

        dk(0,0) = 6*x1 - 2*x1*x2;
        dk(0,1) = 6*x2 - x1*x1;

        dk = -1*dk;
        return dk;
    }

    MatSDS function(const MatSDS &point) override
    {
        MatSDS f(1,1);
        double x1 = point(0,0);
        double x2 = point(0,1);

        f(0,0) = 3*x1*x1 + 3*x2*x2 - x1*x1*x2;

        return f;
    }

    int solve(MatSDS &startPoint) override
    {
        MatSDS x = startPoint;
        for (int i = 0; i < _maxIter; ++i)
        {
            _xStep.push_back({(float)x[0],(float)x[1]});
            MatSDS dk = calGradient(x);

            std::cout<<std::left<<"Iter(s): "<<std::setw(4)<<i<<", Loss: "<<std::setw(12)<<dk.L2()<<" Result: "<<function(x)[0]<<std::endl;

            if(dk.L2() < _eps)
            {
                startPoint = x;
                return i+1;
            }
            x = x + _learningRate*dk;
        }

        return -1;
    }
};



int main()
{
    NewtonProblem1 function(0.1, 100, 0.001);
    MatSDS startPoint(1,2,{1.5,1.5});
    int res = function.solve(startPoint);
    if(res < 0)
    {
        std::cout<<"求解失败"<<std::endl;
    }
    else
    {
        std::cout<<"求解成功! 迭代次数: "<<res<<std::endl;
        std::cout<<"最小值点:"<<res<<std::endl;
        startPoint.print();

        std::cout<<"此时方程的值为:"<<std::endl;
        function.function(startPoint).print();

#ifdef WIN32
        Gui::setFont("c:/windows/fonts/MSYH.TTC",16);
#endif
        std::cout<<"按\"esc\"退出!"<<std::endl;
        Gui::plotLine(u8"最速梯度下降法迭代X中间值","x",function.getXStep());
        Gui::wait();
    }


}

结果:迭代次数13次,求得最小值点

迭代次数13次,求得最小值点
SGD迭代过程中对X进行可视化

4. 牛顿法

梯度下降法初始点选取问题, 会导致迭代次数过多, 可使用牛顿法可以处理.

牛顿法和SGD可视化比较

目标函数[公式] [公式] 处进行二阶泰勒展开:

[公式]

目标函数变为:

[公式]

关于[公式]求导,并让其为0,可以得到步长:

[公式]

与梯度下降法比较,牛顿法的好处:

A点的Jacobian和B点的Jacobian值差不多, 但是A点的Hessian矩阵较大, 步长比较小, B点的Hessian矩阵较小,步长较大, 这个是比较合理的.如果是梯度下降法,则梯度相同, 步长也一样,很显然牛顿法要好得多. 弊端就是Hessian矩阵计算量非常大.

牛顿法和梯度下降法的优缺点

步骤

[公式] [公式] [公式][公式]

-举例: [公式]

#include <Msnhnet/math/MsnhMatrixS.h>
#include <iostream>
#include <Msnhnet/cv/MsnhCVGui.h>

using namespace Msnhnet;

class Newton
{
public:
    Newton(int maxIter, double eps):_maxIter(maxIter),_eps(eps){}

    void setMaxIter(int maxIter)
    {
        _maxIter = maxIter;
    }

    virtual int solve(MatSDS &startPoint) = 0;

    void setEps(double eps)
    {
        _eps = eps;
    }

    //正定性判定
    bool isPosMat(const MatSDS &H)
    {
         MatSDS eigen = H.eigen()[0];
         for (int i = 0; i < eigen.mWidth; ++i)
         {
            if(eigen[i]<=0)
            {
                return false;
            }
         }

         return true;
    }

    const std::vector<Vec2F32> &getXStep() const
    {
        return _xStep;
    }

protected:
    int _maxIter = 100;
    double _eps = 0.00001;
    std::vector<Vec2F32> _xStep;

protected:
    virtual MatSDS calGradient(const MatSDS& point) = 0;
    virtual MatSDS calHessian(const MatSDS& point) = 0;
    virtual bool calDk(const MatSDS& point, MatSDS &dk) = 0;
    virtual MatSDS function(const MatSDS& point) = 0;
};


class NewtonProblem1:public Newton
{
public:
    NewtonProblem1(int maxIter, double eps):Newton(maxIter, eps){}

    MatSDS calGradient(const MatSDS &point) override
    {
        MatSDS J(1,2);
        double x1 = point(0,0);
        double x2 = point(0,1);

        J(0,0) = 6*x1 - 2*x1*x2;
        J(0,1) = 6*x2 - x1*x1;

        return J;
    }

    MatSDS calHessian(const MatSDS &point) override
    {
        MatSDS H(2,2);
        double x1 = point(0,0);
        double x2 = point(0,1);

        H(0,0) = 6 - 2*x2;
        H(0,1) = -2*x1;
        H(1,0) = -2*x1;
        H(1,1) = 6;

        return H;
    }


    bool calDk(const MatSDS& point, MatSDS &dk) override
    {
        MatSDS J = calGradient(point);
        MatSDS H = calHessian(point);
        if(!isPosMat(H))
        {
            return false;
        }
        dk = -1*H.invert()*J;
        return true;
    }

    MatSDS function(const MatSDS &point) override
    {
        MatSDS f(1,1);
        double x1 = point(0,0);
        double x2 = point(0,1);

        f(0,0) = 3*x1*x1 + 3*x2*x2 - x1*x1*x2;

        return f;
    }

    int solve(MatSDS &startPoint) override
    {
        MatSDS x = startPoint;
        for (int i = 0; i < _maxIter; ++i)
        {

            _xStep.push_back({(float)x[0],(float)x[1]});

            MatSDS dk;

            bool ok = calDk(x, dk);

            if(!ok)
            {
                return -2;
            }

            x = x + dk;

            std::cout<<std::left<<"Iter(s): "<<std::setw(4)<<i<<", Loss: "<<std::setw(12)<<dk.L2()<<" Result: "<<function(x)[0]<<std::endl;

            if(dk.LInf() < _eps)
            {
                startPoint = x;
                return i+1;
            }
        }

        return -1;
    }
};



int main()
{
    NewtonProblem1 function(100, 0.01);
    MatSDS startPoint(1,2,{1.5,1.5});

    try
    {
        int res = function.solve(startPoint);
        if(res == -1)
        {
            std::cout<<"求解失败"<<std::endl;
        }
        else if(res == -2)
        {
            std::cout<<"Hessian 矩阵非正定, 求解失败"<<std::endl;
        }
        else
        {
            std::cout<<"求解成功! 迭代次数: "<<res<<std::endl;
            std::cout<<"最小值点:"<<res<<std::endl;
            startPoint.print();

            std::cout<<"此时方程的值为:"<<std::endl;
            function.function(startPoint).print();

#ifdef WIN32
        Gui::setFont("c:/windows/fonts/MSYH.TTC",16);
#endif
        std::cout<<"按\"esc\"退出!"<<std::endl;
        Gui::plotLine(u8"牛顿法迭代X中间值","x",function.getXStep());
        Gui::wait();
        }

    }
    catch(Exception ex)
    {
        std::cout<<ex.what();
    }

}

结果:对于初始点 (1.5,1.5) 迭代次数6次,求得最小值点,迭代次数比梯度下降法少了一半

牛顿法求解最小值,只需要迭代六次
牛顿法迭代过程中,X的可视化结果,可以看到这里X迈的步子是很大的

结果:(0,3),由于在求解过程中会出现hessian矩阵非正定的情况,故需要对newton法进行改进.

求解失败

5. 源码

github.com/msnh2012/num

6. 依赖包

github.com/msnh2012/Msn

7. 参考文献

  1. Numerical Optimization. Jorge Nocedal Stephen J. Wrigh
  2. Methods for non-linear least squares problems. K. Madsen, H.B. Nielsen, O. Tingleff.
  3. Practical Optimization_ Algorithms and Engineering Applications. Andreas Antoniou Wu-Sheng Lu
  4. 最优化理论与算法. 陈宝林
  5. 数值最优化方法. 高立

网盘资料下载:

链接:pan.baidu.com/s/1hpFwtw

提取码:b6gq

8. 最后

  • 欢迎关注我和Buff及公众号的小伙伴们一块维护的一个深度学习框架Msnhnet:
  • Msnhnet除了是一个深度网络推理库之外,还是一个小型矩阵库,包含了矩阵常规操作,LU分解,Cholesky分解,SVD分解。