本节介绍广义动量,这也是哈密顿力学的基础,也是分析力学基础介绍的最后一部分。 分析力学中也有类似于动量的物理量,我们在2.质点动力学(5):“拉格朗日方程的首次积分”中已经提到过,广义动量定义为: 其中 为拉格朗日函数, 为广义坐标。 有了广义动量的定义,我们定义哈密顿函数(哈密顿量): 有没有觉得这个函数很眼熟?我们回顾一下保守场、完整系统、定常约束下的拉格朗日方程的首次积分-能量积分
本节将基于一些例题介绍拉格朗日方程在刚体上的应用,毕竟刚体与质点还是有差距的,使用基于简单模型的例题可以实现较好的介绍效果。 由于内力和约束力在分析法中并不会自然地出现,因此若要得到这些力的大小,我们必须使用一些间接的、通常显得较复杂的方法来计算这些力,这也会在本节得到体现(本节主要内容)。 2. 拉格朗日方程在刚体上的应用 例3-2. 如图3-3所示,两根长为 ,质量为 的杆焊接成为T型杆,
本节介绍刚体动力学的基本内容——刚体动能求解。前面介绍了质点动力学的基本的分析力学方法,但大部分物理问题都不能简单地看作质点系模型,因此有必要研究刚体动力学,而研究刚体动力学时,最大的问题就是欠缺解算刚体动能的方法,这将在本节进行简单介绍。 1. 刚体的动能 对于质点系,有拉格朗日方程成立,那么对于刚体,其依然是成立的。那么刚体的动能如何表示? 图3-1. 如图3-1所示,在刚体上某点 建立
本节介绍拉格朗日方程的首次积分,前面介绍的拉格朗日方程需要求两次导数,但在某些情况下,拉格朗日方程可以进行一次积分,减小计算量,这也是哈密顿力学的简单铺垫。 5. 拉格朗日方程的首次积分 对于保守系统,可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分,从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。首次积分分为能量积分和循环积分两种。 能量积分 如果拉格朗日函数中不显含时间 ,则 根据保守场的拉格
本节介绍非完整系统中的拉格朗日方程,前面遗留的一些问题、或者隐含的问题,大多会在本节得到解决。 4. 非完整系统中的拉格朗日方程 前面的保守场/非保守场的拉格朗日方程推导中, 相互独立是一个很重要的条件,也就是系统必须是完整系统,而在“1.系统约束与虚位移”一节中我们已经提到过,在非完整约束情况下, 并不相互独立,前面介绍的拉格朗日方程推导过程也就失效了,因此本节将重点介绍在 不相互独立情况下
本节介绍非保守场、完整系统中的拉格朗日方程,这个方程相较保守场中的拉格朗日方程会多出一些东西。 3. 非保守场、完整系统中的拉格朗日方程 我们在上节介绍了保守场中的拉格朗日方程,接下来我们讨论非保守场中的拉格朗日方程。 仍然动力学普遍方程起手: 由于非保守力的存在, ,将外力分解为保守力 、非保守力 ,此时动力学普遍方程可写为 仍然将 记为 ,并将非保守力项 记为 , 上式第三项
本节介绍保守场、完整系统中的拉格朗日方程,该方程是分析力学中最重要的方程之一——拉格朗日方程的最简单的形式。 2. 保守场、完整系统中的拉格朗日方程 已知达朗贝尔-拉格朗日方程(动力学普遍方程)为: 将保守力做功定义为势能 的负数,即 ,此时的动力学普遍方程变为 对于上式的第二项,进行如下讨论: 此时的动力学普遍方程可以写为 将 项定义为动能 ,此时有 在时间间隔 上积分上式
本节主要介绍最速降线问题,利用该问题来介绍分析力学发展的基础——变分法。 1. 最速降线问题 如图2-1所示,小球穿在光滑轨道上滑动,寻找使小球从 运动到 所需时间最短的路径 ,这就是所谓的最速降线问题。 图2-1. 小球在光滑轨道上滑动 既然要求最速降线,我们就需要先将 与小球速度联系起来,已知 路程微分与时间微分存在关系: 注意到 ,则 不妨设 、 ,则需要的总时间
0. 简介 利用牛顿定律解决力学问题是我们非常熟悉的内容,首先经由受力分析得到微分方程,知乎之后求解即可,但随着体系逐渐复杂,未知的约束反力逐渐变多,复杂的(二阶)微分方程也逐渐变多,牛顿力学在解决复杂体系时面临了困境,时代呼唤新的方法——分析力学。 分析法与矢量法(牛顿力学)都是由模型到微分方程的工具,但其处理的物理量截然不同,简单来说,分析法处理的是系统的标量物理量(功和能量),而矢量法则针对
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